-
Изобразить на комплексной плоскости множество:
$$\begin{cases}
\displaystyle |z+i| \leq 1 \\
\displaystyle |\frac{3\pi}{2}-arg z| \lt \frac{\pi}{3}
\end{cases}$$
Решение$$ \begin{cases} \displaystyle |z+i| \leq 1 \\ \displaystyle |\frac{3\pi}{2}-arg z| \lt \frac{\pi}{3} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} \displaystyle z=x+i\cdot y \\ \displaystyle x^2+(y+1)^2 \leq 1 \\ \displaystyle \frac{7\pi}{6}\lt arg z \lt \frac{11\pi}{6} \end{cases} \Longleftrightarrow $$
-
Восстановить функцию $$f(z)=u+i\cdot v $$ комплексного переменного $$z=x+i\cdot y $$ по заданным условиям
$$ v = 2x^2 - 2y^2 +4x+5$$, если
$$f ( - i ) = 3 - 4i$$.
Предварительно проверить ,что $$v$$ является гармонической функцией.
Решение$$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=2-2=0;$$ В силу условий Коши-Римана имеем: $$ \begin{equation} \begin{cases} \displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \\ \displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \end{cases} \end{equation} $$ Из второго уравнения получим: $$ \frac{\partial u}{\partial y}=-4x-4 $$ Интегрируя по у найдем: $$ u=-4xy-4y+\psi(x) $$ В силу первого уравнения получим $$ -4y+\psi'(x) = -4y \text { и } \psi(x)=С $$ Таким образом $$ u+i\cdot v= -4xy-4y+C +i\cdot (2x^2-2y^2 +4x+5) $$ Далее положим , что $$y=0 \text{ и заменим } х \text{ на } z, $$ тогда $$ f(z)= C+i\cdot (2z^2+4z+5) $$ Из условия $$f (-i) = 3 - 4i$$. находим $$ C+i\cdot(-2-4i+5)=3-4i \displaystyle\Longleftrightarrow C= 7 -i\cdot 7 $$ Окончательно $$f (z) = 7 -i\cdot +i\cdot (2z^2+4z+5) $$
-
Вычислить интеграл
\begin{equation*}
\int\limits_C z^2 \, dz,
\end{equation*}
где \( C \) -- отрезок прямой \( y = x +1 \) от точки \( (0, 1)\) до точки \((1, 2)\)
РешениеПервый способ: Сведем задачу к вычислению двух криволинейных интегралов,выделяя вещественную и мнимую часть подынтегрального выражения: \begin{equation*} I=\int\limits_C (x+i\cdot y)^2 (dx+i\cdot dy)=\int\limits_C (x^2-y^2)dx-2xydy +i\int\limits_C (x^2-y^2)dy+2xydy \end{equation*} Уравнение прямой из начальной в конечную точку имеет вид \(y=x+1 , dy=dx \)
Следовательно
$$ I=\int_{0}^{1}(x^2 -(x+1)^2-2x(x+1))dx+i\cdot\int_{0}^{1}(x^2-(x+1)^2+2x(x+1))dx $$ или $$ I=-\int_{0}^{1}(2x^2-4x-1)dx+i\cdot\int_{0}^{1}(2x^2-1)dx=-\frac{11}{3}-\frac{i}{3} $$ Второй способ: Подынтегральная функция является аналитической , можно применить формулу Ньютона-Лейбница : $$ \int_{i}^{1+2i}{z^2\,dz}=\frac{z^3}{3}|_{i}^{1+2i}=\frac{1}{3}\left((1+2i)^3-i^3)\right)=\frac{1}{3}(1+6i-12-8i+i)=-\frac{11}{3}-\frac{i}{3} $$ -
Вычислить интеграл
\begin{equation*}
\int\limits_C \bar{z} \, dz,
\end{equation*}
где \( C \) -- окружность \( |z-2| = 2 \)
РешениеВоспользуемся заменой переменной $$z=2+2e^{i\varphi }, dz=2ie^{i\varphi }d\varphi , \bar{z}=2+2e^{-i\varphi }$$ Тогда \begin{equation*} \int\limits_C \bar{z} \, dz,=2i\int_{0}^{2\pi}{(2-2e^{-i\varphi})e^{i\varphi}\,d\varphi=4i\int_{0}^{2\pi}{(e^{i\varphi}+1})\,d\varphi} \end{equation*} Имеем \begin{equation*} 4i\int_{0}^{2\pi}{(e^{i\varphi}+1})\,d\varphi=4i(\frac{e^{i\varphi}}{i}+\varphi)|_{0}^{2\pi}=8i\pi. \end{equation*}