Пробник
-
Найти вещественную и мнимую часть функции
$$w = -6 z^2 - 2 z + 2 + i 5$$.
Что называется функцией комплексной переменной?
Решение$$u = -6( x^2 - y^2 )- 2x + 2$$ $$v = -12 x y - 2y + 5$$.
-
Восстановить функцию по ее мнимой части
$$ v = -3 x - 5 y + 7$$, если
$$f ( 4 + 2 i ) = -6 - 15 i$$.
Сформулировать условия Коши-Римана.
Решение$$ w = ( -5 - i 3) z + 8 + i 7$$
-
Во что переходит круг при отображении $$ w = \frac{1}{z}?$$
РешениеВо внешность круга :$$\left| w + \frac{1}{45} \right| \leq \frac{7}{90}$$.
-
Вычислить интеграл
\begin{equation*}
\int\limits_C ( (3 -4 i) z + 7 - 6 i ) \, dz,
\end{equation*}
$$ где \quad C\quad --\quad отрезок \quad прямой \quad y = 5 x -2 \quad от\quad точки\quad (0, -2)\quad до\quad точки\quad(-14, -72)$$.
Записать формулу Ньютона--Лейбница для интеграла от функции комплексного аргумента.
Решение$$I = - 364 + i 572$$.
-
Найти вычет функции $$\frac{ ( -13 + i 6) z - 5 - i 7} {z^2 ( z^2 + 9 )}$$
в точке $$z_0 = -i 3$$.
Записать формулы для нахождения вычетов в случае простого и кратного полюсов.
Решение$${\rm res} \, = - \frac{1} {54} ( - 32 + i 13 )$$.
-
Вычислить интеграл
\begin{equation*}
\int\limits_C {dz \over ( z^2 + 49 ) ( z - 9 )},
\end{equation*}
где $$C: \ | z - 20 + 8 i | = 17 $$ по теореме Коши о вычетах.
Записать формулировку теоремы Коши о вычетах.
Решение$$I = \frac{\pi}{130} \left( - \frac{9}{7} + 3 i \right)$$.
-
Вычислить коэффициент Фурье $$a_1$$
для функции $$f(x) = 1 -2 \cos x + 4 \sin 4 x$$.
Решение$$a_1 = -2$$.
-
Найти в точке $$\pi/2$$ сумму ряда Фурье периодической функции
\begin{equation*}
f(x) =
\left\{
\begin{matrix}
2 \sin x, & 0 \leq x \leq \pi/2, \cr
3 \cos x, & \pi /2 < x \leq 3 \pi /2
\end{matrix}
\right.
\end{equation*}
с периодом $$3 \pi /2$$.
Решение$$S = 1$$.
-
Записать {\bf общий вид ряда Фурье} для функции, график которой на отрезке $[0,10]$ (который является периодом) приведен на рисунке
Коэффициенты не искать. В формуле явно указать период.
Решение$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \frac{\pi}{5} x $$. -
Восстановить оригинал по заданному изображению $$F(p) = \frac{-15 p^2 + 5 p + 2}{-3 p^2 - 7 p^3}$$.
$$\text{Как ведет себя изображение при } {\rm Re} \, p \to \infty$$?
Решение$$f(t) = \left( -\frac{1}{9} - \frac{2}{3} t - \frac{142}{63} {\rm e}^{-3/7\, t} \right) 1(t)$$.
-
$$\text{Решить задачу Коши с начальными данными }x(0) = 3, x^\prime(0) = -2 $$для дифференциального уравнения $$x^{\prime\prime} + 8 x^\prime + 12 x = -2$$.
операторным методом.
Сформулируйте теорему об интегрировании оригинала.
Решение$$x(t) = \left( -\frac{1}{6} + \frac{15}{4} {\rm e}^{-2 t} - \frac{7}{4} {\rm e}^{-4 t} \right) 1(t)$$.